Question

3．如圖四邊形PDCE是正方形，四邊形ABCD為直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，且平面PDCE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）若M為PA中點，求證：AC∥平面MDE；
（Ⅱ）求證：直線PC⊥平面ADE；
（Ⅲ）若正方形PDCE邊長為2a，AB=AD=a，求直線BE與平面PDCE所成角的余弦．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接PC∩DE=O，連接MO，證明MO∥AC，利用直線與平面平行的判定定理證明AC∥平面MDE．
（2）證明AD⊥DC，AD⊥PC，通過直線與平面垂直的判定定理證明直線PC⊥平面ADE．
（3）取AD的中點N，連接BN，連接NE，說明∠BEN是直線BE與平面PDCE所成角，通過解三角形求解即可得到直線BE與平面PDCE所成角的余弦．

解答 證明：（Ⅰ）連接PC∩DE=O，連接MO，因為四邊形PDCE是正方形，
所以O(shè)是PC的中點，M為PA中點，則MO∥AC，-------------------------（1分）
又MO?平面MDE，----------------------------（2分）
AC?平面MDE，----------------------------（3分）
所以AC∥平面MDE．----------------------------（4分）
（2）平面PDCE⊥平面ABCD，平面PDCE∩平面ABCD=CD．∠ADC=90°
所以AD⊥DC----------------------------（5分）
所以AD⊥平面PDCE----------------------------（6分）
又PC?平面PDCE，所以AD⊥PC----------------------------（7分）
又正方形PDCE中PC⊥DE---------------------------（8分）DE∩AD=D
所以直線PC⊥平面ADE----------------------------（9分）
（3）取AD的中點N，連接BN，則BN∥AD

則BN⊥平面PDCE----------------------------（10分）
連接NE，則NE是BE在平面PDCE內(nèi)的射影，
所以∠BEN是直線BE與平面PDCE所成角----------------------------（11分）Rt△BCN中$BC=\sqrt{B{N^2}+C{N^2}}=\sqrt{2}a$Rt△BCE中$BE=\sqrt{B{C^2}+C{E^2}}=\sqrt{6}a$
所以Rt△BEN中$sin∠BEN=\frac{BN}{BE}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$----------------------------（12分）
直線BE與平面PDCE所成角的余弦為$\frac{{\sqrt{30}}}{6}$----------------------------（13分）

點評 本題考查直線與平面平行與垂直的判定定理的應用，直線與平面所成角的求法，看空間想象能力以及計算能力．