Question

2．已知函數(shù)f（x）=4sinxsin（x+$\frac{π}{3}$）-1（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用周期公式即可得解．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 （本題滿(mǎn)分為13分）
解：（1）∵f（x）=4sinxsin（x+$\frac{π}{3}$）-1=2sinx（$\sqrt{3}$cosx+sinx）-1
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2sin²x-1
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），…4分
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{1}$=π…7分
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時(shí)，f（x）_max=2，…9分
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）_min=-1，…13分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)周期公式的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．