Question

10．如圖（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如圖（2）．
（1）求證：A₁C⊥平面BCDE；
（2）平面α過直線CM和點(diǎn)B，試作出平面α與△A₁BE的交線，并說明作法；
（3）線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A₁DP與平面A₁BE垂直？說明理由．

Answer 1

分析 （1）證明A₁C⊥平面BCDE，因?yàn)锳₁C⊥CD，只需證明A₁C⊥DE，即證明DE⊥平面A₁CD；
（2）過M作MN∥BC，交A₁E于N，連結(jié)BN，則BN即為所求的交線；
（3）設(shè)線段BC上存在點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a，0），則a∈[0，3]，求出平面A₁DP法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$和平面A₁BE的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$，假設(shè)平面A₁DP與平面A₁BE垂直，則$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}$=0，得出a，判斷是否符合條件0≤a≤3即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵BC⊥CD，DE∥BC，
∴DE⊥CD，DE⊥A₁D，又DC?平面A₁CD，A₁D?平面A₁CD，A₁D∩CD=D
∴DE⊥平面A₁CD，
∵A₁C?平面A₁CD，
∴A₁C⊥DE，又A₁C⊥CD，CD?平面BCDE，DE?平面BCDE，CD∩DE=D，
∴A₁C⊥平面BCDE．
（2）解：過M作MN∥BC，交A₁E于N，連結(jié)BN，如圖：
則平面BCMN為平面α，直線BN為平面α與△A₁BE的交線．
（3）∵DE∥BC，∴$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∴CD=2，AD=4．
∴A₁C=$\sqrt{A{D}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則C（0，0，0），D（2，0，0），A₁（0，0，2$\sqrt{3}$），B（0，3，0），E（2，2，0），
設(shè)P（0，a，0）．則0≤a≤3．
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（2，0，-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DP}$=（-2，a，0），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，3，-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BE}$=（2，-1，0），
設(shè)平面A₁DP的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），平面A₁BE法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}-2\sqrt{3}{z}_{1}=0}\\{-2{x}_{1}+a{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{3{y}_{2}-2\sqrt{3}{z}_{2}=0}\\{2{x}_{2}-{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
∴令z₁=1得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{a}$，1），令x₂=1得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，2，$\sqrt{3}$）．
假設(shè)平面A₁DP與平面A₁BE垂直，則$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}$=0，
∴$\sqrt{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{a}$+$\sqrt{3}$=0，解得a=-2．不符合題意．
∴線段BC上不存在點(diǎn)P，使平面A₁DP與平面A₁BE垂直．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定，面面垂直的判定，屬于中檔題．