Question

15．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為棱DC的中點(diǎn)，則D₁P與BC₁所在的直線所成角的余弦值等于$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 連結(jié)AD₁、AP，由AD₁∥BC₁，得∠AD₁P就是D₁P與BC₁所在的直線所成角，由此能求出D₁P與BC₁所在的直線所成角的余弦值．

解答 解：連結(jié)AD₁、AP，
∵AD₁∥BC₁，∴∠AD₁P就是D₁P與BC₁所在的直線所成角，
設(shè)AB=2，則AP=D₁P=$\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，AD₁=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，
∴cos∠AD₁P=$\frac{A{{D}_{1}}^{2}+{D}_{1}{P}^{2}-A{P}^{2}}{2×A{D}_{1}×{D}_{1}P}$=$\frac{8+5-5}{2×2\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴D₁P與BC₁所在的直線所成角的余弦值等于$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運(yùn)用．