Question

20．過拋物線$y=\frac{1}{4}{x^2}$的焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，O是拋物線的頂點．
（1）判斷拋物線的準(zhǔn)線和以AB為直徑的圓的位置關(guān)系；
（2）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點M，分別過A、B、M作準(zhǔn)線的垂線AP、BQ、MN，垂足分別為P、Q、N，作出圖形，利用拋物線的定義及梯形的中位線性質(zhì)可推導(dǎo)，|MN|=$\frac{1}{2}$|AB|，從而可判斷圓與準(zhǔn)線的位置關(guān)系．
（2）由拋物線x²=4y與過其焦點（0，1）的直線方程聯(lián)立，消去y整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點坐標(biāo)，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂，由韋達定理可以求得答案．

解答 解：（1）取AB的中點M，分別過A、B、M作準(zhǔn)線的垂線AP、BQ、MN，垂足分別為P、Q、N，如圖所示：
由拋物線的定義可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MN|=$\frac{1}{2}$（|AP|+|BQ|）=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|）
=$\frac{1}{2}$|AB|，
故圓心M到準(zhǔn)線的距離等于半徑，
所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．
（2）由題意知，拋物線x²=4y的焦點坐標(biāo)為（0，1），∴直線AB的方程為y-1=kx，即y=kx+1
由$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}=4y\\ y=kx+1\end{array}\right.$得x²-4kx-4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
則，y₁•y₂=（kx₁+1）•（kx₂+1）=k²x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=1．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=1-4=-3，

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是聯(lián)立拋物線方程與過其焦點的直線方程，利用韋達定理予以解決，拋物線過焦點弦的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確運用拋物線的定義，合理轉(zhuǎn)化，綜合性強．