Question

8．中心在坐標(biāo)原點O，焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓E經(jīng)過兩點$R（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{2}}），Q（{\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．分別過橢圓E的焦點F₁、F₂的動直線l₁，l₂相交于P點，與橢圓E分別交于A、B與C、D不同四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率k₁、k₂、k₃、k₄滿足k₁+k₂=k₃+k₄．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在定點M、N，使得|PM|+|PN|為定值．若存在，求出M、N點坐標(biāo)并求出此定值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），則由題意有$\left\{\begin{array}{l}9m+2n=4\\ 3m+6n=4\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{3}\\ n=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，即可求橢圓E的方程；
（2）當(dāng)直線l₁或l₂斜率不存在時，P點坐標(biāo)為（-1，0）或（1，0）．當(dāng)直線l₁、l₂斜率存在時，設(shè)斜率分別為m₁，m₂．可得l₁的方程為y=m₁（x+1），l₂的方程為y=m₂（x-1）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），與橢圓方程聯(lián)立即可得出根與系數(shù)的關(guān)系，再利用斜率計算公式和已知即可得出m₁與m₂的關(guān)系，進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n）…（1分）
將$P（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{2}}），Q（{\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$代入有$\left\{\begin{array}{l}9m+2n=4\\ 3m+6n=4\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{3}\\ n=\frac{1}{2}\end{array}\right.$…（3分）
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．…（4分）
（2）焦點x、y坐標(biāo)分別為（-1，0）、（1，0）．
當(dāng)直線l₁或l₂斜率不存在時，P點坐標(biāo)為（-1，0）或（1，0）．
當(dāng)直線l₁、l₂斜率存在時，設(shè)斜率分別為m₁，m₂．
∴l(xiāng)₁的方程為y=m₁（x+1），l₂的方程為y=m₂（x-1）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
聯(lián)立l₁與橢圓方程，得到（2+3m₁²）x²+6m₁²x+3m₁²-6=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{6{{m}_{1}}^{2}}{2+3{{m}_{1}}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{{m}_{1}}^{2}-6}{2+3{{m}_{1}}^{2}}$．
同理x₃+x₄=$\frac{6{{m}_{2}}^{2}}{2+3{{m}_{2}}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{3{{m}_{2}}^{2}-6}{2+3{{m}_{2}}^{2}}$．（*）
∵k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=m₁+$\frac{{m}_{1}}{{x}_{1}}$，k₂=m₁+$\frac{{m}_{1}}{{x}_{2}}$，k₃=m₂-$\frac{{m}_{2}}{{x}_{3}}$，k₄=m₂-$\frac{{m}_{2}}{{x}_{4}}$．
又滿足k₁+k₂=k₃+k₄．
∴2m₁+m₁•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2m₂-m₂•$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{{x}_{3}{x}_{4}}$，
把（*）代入上式化為m₁m₂=-2．
設(shè)點P（x，y），則$\frac{y}{x+1}•\frac{y}{x-1}=-2$，（x≠±1）
化為$\frac{{y}^{2}}{2}$+x²=1，（x≠±1）．
由當(dāng)直線l₁或l₂斜率不存在時，P點坐標(biāo)為（-1，0）或（1，0）也滿足，
∴點P在橢圓上，則存在點M、N其坐標(biāo)分別為（0，-1）、（0，1），使得|PM|+|PN|=2$\sqrt{2}$為定值．…（12分）

點評 熟練掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得出根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式等是解題的關(guān)鍵．