Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-x（x≥0）}\\{{x}^{2}-x（x＜0）}\end{array}\right.$，對于任意x∈[1，+∞），不等式f（a²-e^x-1）＞f（2x²-2a）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（-3，1）．

Answer 1

分析 判斷f（x）在R上遞增，由題意可得a²-e^x-1＜2x²-2a，即a²+2a＜2x²+e^x-1在x∈[1，+∞）恒成立，令g（x）=2x²+e^x-1，求出單調性可得最小值，解不等式a²+2a＜3，可得a的范圍．

解答 解：當x≥0時，f（x）=-x²-x的對稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，
區(qū)間[0，+∞）為遞增區(qū)間；
當x＜0時，f（x）=x²-x的對稱軸為x=$\frac{1}{2}$，
區(qū)間（-∞，0）為遞減區(qū)間，
且f（0）=0，
故f（x）在R上遞減．
任意x∈[1，+∞），不等式f（a²-e^x-1）＞f（2x²-2a）恒成立
即為a²-e^x-1＜2x²-2a，即
a²+2a＜2x²+e^x-1在x∈[1，+∞）恒成立，
令g（x）=2x²+e^x-1，則g（x）在[1，+∞）遞增，
可得g（1）取得最小值，且為2+1=3，
由a²+2a＜3，解得-3＜a＜1．
故答案為：（-3，1）．

點評 本題考查函數(shù)的單調性的運用：解不等式，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構造函數(shù)求最值，屬于中檔題．