Question

6．如圖，F(xiàn)₁F₂為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn)，延長PF₁、，PF₂分別交橢圓C于A，B．若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=2$\overrightarrow{{F}_{1}A}$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$λ\overrightarrow{{F}_{2}B}$，則λ=（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 由橢圓方程求出橢圓兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出PA所在直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，求出P的坐標(biāo)，再由$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$λ\overrightarrow{{F}_{2}B}$，把B的坐標(biāo)用含有λ的代數(shù)式表示，代入橢圓方程求得λ的值．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{4}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得a²=4，b²=3，∴c²=1．
則F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
設(shè)PA所在直線方程為x=ty-1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4+3t²）y²-6ty-9=0．
解得：${y}_{A}=\frac{3t-6\sqrt{{t}^{2}+1}}{4+3{t}^{2}}，{y}_{P}=\frac{3t+6\sqrt{{t}^{2}+1}}{4+3{t}^{2}}$，
由題意知：y_P=-2y_A，即$3t+6\sqrt{{t}^{2}+1}=-6t+12\sqrt{{t}^{2}+1}$，
解得：t=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
不妨取t=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，則y_P=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，則${x}_{P}=\frac{1}{2}$．
∴p（$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{5}}{4}$），
由$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$λ\overrightarrow{{F}_{2}B}$，得$（\frac{1}{2}，-\frac{3\sqrt{5}}{4}）=λ（{x}_{B}-1，{y}_{B}）$，
∴B（$\frac{1}{2λ}+1$，$-\frac{3\sqrt{5}}{4λ}$），代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
得$\frac{（2λ+1）^{2}}{16{λ}^{2}}+\frac{15}{16{λ}^{2}}=1$，解得：$λ=\frac{4}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了平面向量在解題中的應(yīng)用，考查計算能力，是中檔題．