Question

10．已知向量$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，對于任意點M，點M關(guān)于A點的對稱點為S，點S關(guān)于B點的對稱點為N．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{MN}$；
（2）用|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{MN}$|∈[2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{7}$]，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知AB是△SMN的中位線，故$\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AB}$．
（2）由MN的范圍得出AB的范圍，兩邊平方得出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的范圍．

解答 解：（1）∵A是SM的中點，B是SN的中點，
∴AB是△SMN的中位線，∴$\overrightarrow{MN}$=2$\overrightarrow{AB}$=2（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）=2$\overrightarrow$-2$\overrightarrow{a}$．
（2）∵|$\overrightarrow{MN}$|∈[2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{7}$]，∴$\sqrt{3}$≤|$\overrightarrow{AB}$|≤$\sqrt{7}$．
∴3≤（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）²≤7，
即3≤1+4-2$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$≤7，解得-1≤$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$≤1．
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cosθ=2cosθ，
∴-$\frac{1}{2}$≤cosθ≤$\frac{1}{2}$．∵θ∈[0，π]，
∴$\frac{π}{3}$≤θ≤$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，向量的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．