Question

8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（　　）

• A． 7+$\sqrt{5}$
• B． 7+2$\sqrt{5}$
• C． 4+2$\sqrt{2}$
• D． 4+$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 幾何體為從正方體中切出來的三棱錐，利用正方體模型計算三棱錐的各邊，再計算面積．

解答 解：由三視圖可知幾何體為從邊長為2正方體中切出來的三棱錐A-BCD，如圖所示．其中C為正方體棱的中點，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×2$=2，S_ABD=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
∵AC=BC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，∴S_△ACD=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$．
∵CD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{C}^{2}}$=3，BD=2$\sqrt{2}$，∴cos∠CBD=$\frac{B{C}^{2}+B{D}^{2}-C{D}^{2}}{2BC•BD}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴sin∠CBD=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{10}}{10}$=3．
∴幾何體的表面積S=2+2+$\sqrt{5}$+3=7+$\sqrt{5}$．
故選A．

點評 本題考查了不規(guī)則放置的幾何體的三視圖及面積計算，作出直觀圖是解題關鍵．