Question

6．已知直線y=x+1與函數(shù)f（x）=ae^x+b的圖象相切，且f′（1）=e．
（I）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若存在x∈（0，$\frac{3}{2}$），使得2mf（x-1）+nf（x）=mx（m≠0）成立，求$\frac{n}{m}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點，求得切線的斜率，由條件可得b=1，解方程可得a=1；
（Ⅱ）由于f（x）=e^x，由題意可得$\frac{2}{e}$+$\frac{n}{m}$=$\frac{x}{{e}^{x}}$在x∈（0，$\frac{3}{2}$）有解，構(gòu)造g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，求得導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，可得g（x）的范圍，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=ae^x+b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ae^x，
由且f′（1）=e，可得ae=e，即a=1；
設(shè)切點為（m，m+1），可得切線的斜率為ae^m=1，即m=0
又m+1=ae^m+b，解得b=0，
綜上可得，a=1，b=0；
（Ⅱ）由于f（x）=e^x，
存在x∈（0，$\frac{3}{2}$），使得2mf（x-1）+nf（x）=mx（m≠0）成立，
即為$\frac{2}{e}$+$\frac{n}{m}$=$\frac{x}{{e}^{x}}$在x∈（0，$\frac{3}{2}$）有解，
由g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$的導(dǎo)數(shù)為$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
可得0＜x＜1時，g′（x）＞0，g（x）遞增；
1＜x＜$\frac{3}{2}$時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有g(shù)（x）在x=1處取得極大值，且為最大值$\frac{1}{e}$，
由g（0）=0，g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$${e}^{-\frac{3}{2}}$，
即有g(shù)（x）的范圍是（0，$\frac{1}{e}$]，
則0＜$\frac{2}{e}$+$\frac{n}{m}$≤$\frac{1}{e}$，解得-$\frac{2}{e}$＜$\frac{n}{m}$≤-$\frac{1}{e}$．
故$\frac{n}{m}$的取值范圍為（-$\frac{2}{e}$，-$\frac{1}{e}$]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及構(gòu)造法，求出函數(shù)的最值和范圍，考查運算求解能力，屬于中檔題．