Question

3．已知函數(shù)f（x）=log_a（1-ax），其中0＜a＜1．
（1）證明：f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$）上是增函數(shù)；
（2）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，和單調(diào)性的定義求解證明即可．
（2）由真數(shù)大于0求出原函數(shù)的定義域，然后由a的范圍結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一次不等式求出a的范圍，最后取交集得答案

解答 解：由1-ax＞0，得ax＜1，
而a＞0，
∴x＜$\frac{1}{a}$，即定義域為（-∞，$\frac{1}{a}$），
（1）設(shè)x₁＜x₂$＜\frac{1}{a}$，
1-ax₁＞1-ax₂．
∵0＜a＜1
∴l(xiāng)og_a（1-ax₁）_＜log_a（1-ax₂）
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$）上是增函數(shù)；
（2）0＜a＜1，
由f（x）＞1，得1-ax＜a，解得：x$＞\frac{1}{a}$-1．又定義域為（-∞，$\frac{1}{a}$），
所以，x的取值范圍是（$\frac{1}{a}$-1，$\frac{1}{a}$）

點評 本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了對數(shù)不等式的解法，關(guān)鍵是注意對數(shù)函數(shù)的定義域，是中檔題