Question

8．設(shè)m∈R，函數(shù)f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3，x∈R．
（1）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的最大值；
（2）若存在x∈R，使得f（-x）+f（x）=0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3=（2^x-m）²-3，x∈[0，2]，可得2^x∈[1，4]．對(duì)m分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）存在x∈R，使得f（-x）+f（x）=0，可得4^-x-m•2^-x+1+m²-3+4^x-m•2^x+1+m²-3=0，令2^x+2^-x=t∈[2，+∞）．化為2m²-2tm+t²-8=0，t∈[2，+∞）．△≥0，又t∈[2，+∞）．解得t∈[2，4]．可得m=$\frac{t±\sqrt{16-{t}^{2}}}{2}$．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3=（2^x-m）²-3，
∵x∈[0，2]，∴2^x∈[1，4]．
當(dāng)m≥4時(shí)，f（x）_max=f（0）=m²-2m-2．
當(dāng)m≤1時(shí)，f（x）_max=f（2）=m²-8m+13．
當(dāng)1＜m＜4時(shí)，f（x）_max={f（0），f（2）}_max．
（2）存在x∈R，使得f（-x）+f（x）=0，
∴4^-x-m•2^-x+1+m²-3+4^x-m•2^x+1+m²-3=0，
化為：2m²-2m（2^x+2^-x）+（2^x+2^-x）²-8=0，令2^x+2^-x=t∈[2，+∞）．
∴2m²-2tm+t²-8=0，t∈[2，+∞）．
△=4t²-8（t²-8）=4（16-t²）≥0，又t∈[2，+∞）．解得t∈[2，4]．
解得m=$\frac{t±\sqrt{16-{t}^{2}}}{2}$．
當(dāng)m=$\frac{t+\sqrt{16-{t}^{2}}}{2}$時(shí)，m′=$\frac{1+\frac{-2t}{2\sqrt{16-{t}^{2}}}}{2}$=$\frac{\sqrt{16-{t}^{2}}-t}{2\sqrt{16-{t}^{2}}}$，
當(dāng)$2≤t＜2\sqrt{2}$時(shí)，m′＞0，函數(shù)m（t）單調(diào)遞增；當(dāng)2$\sqrt{2}$＜t≤4時(shí)，m′＜0，函數(shù)m（t）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)t=2$\sqrt{2}$時(shí)，m取得最大值，m（2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$．
又m（2）=1+$\sqrt{3}$，m（4）=2，∴m∈$[2，2\sqrt{2}]$．
當(dāng)m=$\frac{t-\sqrt{16-{t}^{2}}}{2}$時(shí)，m∈$[1-\sqrt{3}，2]$．
綜上可得：m的取值范圍是：$[1-\sqrt{3}，2\sqrt{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．