Question

12．已知橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，點(diǎn)F為右焦點(diǎn)，直線1與圓x²+y²=3相切于點(diǎn)Q，且Q位于y軸的右側(cè)，直線l交橢圓于相異兩點(diǎn)A，B，如圖所示，則|AF|+|AQ|的值為（　　）

• A． 4
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），（x₁＞0），連接OA，OQ，則|AQ|²=${x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}-3$，|AF|²=${{（x}_{1}^{\;}-1）}^{2}+{y}_{1}^{2}$，結(jié)合${y}_{1}^{2}=3-\frac{{3{x}_{1}}^{2}}{4}$，化簡可得答案．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），（x₁＞0），
連接OA，OQ，在△OAQ中，|AQ|²=${x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}-3$，
∵|AF|²=${{（x}_{1}^{\;}-1）}^{2}+{y}_{1}^{2}$，
又由${y}_{1}^{2}=3-\frac{{3{x}_{1}}^{2}}{4}$得：
|AQ|²=${\frac{1}{4}x}_{1}^{2}$，即|AQ|=$\frac{1}{2}$x₁，
|AF|²=${\frac{1}{4}x}_{1}^{2}-2{x}_{1}+4$，即|AF|=2-$\frac{1}{2}$x₁，
∴|AF|+|AQ|=2，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是橢圓的簡單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的關(guān)系，難度中檔．