Question

8．在△ABC中，若$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=1，則$\frac{si{n}^{2}A+si{n}^{2}B}{si{n}^{2}C}$=3．

Answer 1

分析 將切化弦，對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，得出cosC，結(jié)合余弦定理得出a，b，c的關(guān)系．

解答 解：∵$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=1，∴$\frac{sinC}{cosC}•$（$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$）=1，
即$\frac{sinC}{cosC}$•$\frac{cosAsinB+sinAcosB}{sinAsinB}$=1，
∴sin²C=sinAsinBcosC．∴cosC=$\frac{si{n}^{2}C}{sinAsinB}$=$\frac{{c}^{2}}{ab}$，
又∵cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴a²+b²-c²=2c²，即a²+b²=3c²，
∴$\frac{si{n}^{2}A+si{n}^{2}B}{si{n}^{2}C}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{c}^{2}}$=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，結(jié)合正余弦定理是解決有關(guān)三角形知識(shí)的重要方法．