Question

14．已知實(shí)數(shù)x，y，a滿足x+y=a．
（1）若$\frac{x}{{3}^{3}-{5}^{3}}$+$\frac{y}{{3}^{3}-{6}^{3}}$=1，$\frac{x}{{4}^{3}-{5}^{3}}$+$\frac{y}{{4}^{3}-{6}^{3}}$=1，求a的值；
（2）若x³+y³=x⁵+y⁵=a，求a的所有可能值．

Answer 1

分析 （1）由實(shí)數(shù)x、y滿足$\frac{x}{{3}^{3}-{5}^{3}}$+$\frac{y}{{3}^{3}-{6}^{3}}$=1，$\frac{x}{{4}^{3}-{5}^{3}}$+$\frac{y}{{4}^{3}-{6}^{3}}$=1，
易知：3³，4³是關(guān)于t的方程$\frac{x}{t-{5}^{3}}$+$\frac{y}{t-{6}^{3}}$=1的兩根，即是方程t²-（5³+6³+x+y）t+（5³6³+5³y+6³x）=0的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出答案．
（2）把x³+y³=x+y左邊展開兩數(shù)和的立方公式，然后分①x+y=0，②x²-xy+y²-1=0進(jìn)行求解a的所有可能值．

解答 解：（1）由實(shí)數(shù)x、y滿足$\frac{x}{{3}^{3}-{5}^{3}}$+$\frac{y}{{3}^{3}-{6}^{3}}$=1，$\frac{x}{{4}^{3}-{5}^{3}}$+$\frac{y}{{4}^{3}-{6}^{3}}$=1，
可知3³，5³是關(guān)于t的方程$\frac{x}{t-{5}^{3}}$+$\frac{y}{t-{6}^{3}}$=1的兩根，
即是方程t²-（5³+6³+x+y）t+（5³6³+5³y+6³x）=0的兩個(gè)根，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系：3³+4³=5³+6³+x+y，
∴x+y=3³+4³-5³-6³=-250，即a=-250；
（2）∵x³+y³=x+y，
∴（x+y）（x²-xy+y²）=x+y，
∴（x+y）（x²-xy+y²-1）=0．
①若x+y=0，此時(shí)a=0；
②若x²-xy+y²-1=0，則x²+y²=xy+1≥2xy（當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)），
∴xy≤1，
1）若x=y，則x=y=1或-1，∴a=2或-2；
2）若x≠y，設(shè)x＜y，則x=0，y=1，或x=-1，y=0均成立．
∴a=1或-1．
綜上，a=-2，2，-1，0，1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及二元一次方程組，難度適中，關(guān)鍵是掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時(shí)，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q；（2）的求解考查立方和公式的應(yīng)用及分類討論的首項(xiàng)思想方法，關(guān)鍵是正確分類．