Question

5．已知函數(shù)f（x）滿足條件：（I）對任意x，y∈R，f（x+y）=f（x）f（y）；（Ⅱ）對任意x，y∈R，x≠y時，$\frac{f（x）-f（y）}{x-y}$＞0．
（1）若a＞b，試比較f（a）與f（b）的大��；
（2）今有六個函數(shù)y=x${\;}^{\frac{1}{3}}$，y=x³，y=log₃x，y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x，y=（$\frac{1}{3}$）^x，y=3^x，請選出最符合上述條件的函數(shù)并記此函數(shù)為y=f（x）．
①若函數(shù)g（x）定義域為R，且g（x+1）=g（x），0＜x≤1時，g（x）=f（x），當(dāng)2＜x≤4時，求g（x）的解析式；
②若2＜x≤4時，h（x）=g（x）-mx-1有兩個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及條件進(jìn)行判斷即可．
①根據(jù)函數(shù)周期性之間的關(guān)系進(jìn)行求解函數(shù)的解析式即可．
②利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有兩個交點，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵對任意x，y∈R，x≠y時，$\frac{f（x）-f（y）}{x-y}$＞0．
∴函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
若a＞b，則f（a）＞f（b）．
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）=x${\;}^{\frac{1}{3}}$，則f（x+y）=$（x+y）^{\frac{1}{3}}$，f（x）f（y）=x${\;}^{\frac{1}{3}}$•y${\;}^{\frac{1}{3}}$，則$（x+y）^{\frac{1}{3}}$=x${\;}^{\frac{1}{3}}$•y${\;}^{\frac{1}{3}}$，不成立，不滿足條件．
當(dāng)函數(shù)f（x）=x³，則f（x+y）=（x+y）³，f（x）f（y）=x³•y³，則（x+y）³=x³•y³，不成立，不滿足條件．
當(dāng)函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x，則f（x+y）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+y），f（x）f（y）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x•log${\;}_{\frac{1}{3}}$y，則log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+y）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x•log${\;}_{\frac{1}{3}}$y，不成立，不滿足條件．
當(dāng)函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x，則f（x+y）=（$\frac{1}{3}$）^x+y，f（x）f（y）=（$\frac{1}{3}$）^x•（$\frac{1}{3}$）^y=（$\frac{1}{3}$）^x+y，則f（x+y）=f（x）f（y）成立，但f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x，為減函數(shù)，不滿足條件．
當(dāng)函數(shù)f（x）=3^x，則f（x+y）=3^x+y，f（x）f（y）=3^x•3^y=3^x+y，則f（x+y）=f（x）f（y）成立，同時也滿足f（x）=3^x是增函數(shù)，滿足條件．
故滿足條件的函數(shù)f（x）=3^x，
①∵g（x+1）=g（x），
∴g（x）=g（x-1），
∵當(dāng)0＜x≤1時，g（x）=f（x）=3^x，
∴若1＜x≤2，則0＜x-1≤1時，則g（x）=g（x-1）=3^x-1，
若2＜x≤3，則1＜x-1≤2時，則g（x）=g（x-1）=3^x-2，
若3＜x≤4，則2＜x-1≤3時，則g（x）=g（x-1）=3^x-3，
即g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x-2}，}&{2＜x≤3}\\{{3}^{x-3}，}&{3＜x≤4}\end{array}\right.$．
②若2＜x≤4時，h（x）=g（x）-mx-1有兩個零點，
則由h（x）=g（x）-mx-1=0得g（x）=mx+1，
設(shè)h（x）=mx+1，則h（x）過定點（0，1），
作出函數(shù)g（x）和h（x）在2＜x≤4上的圖象如圖：
當(dāng)直線g（x）=mx+1的斜率m=0時，此時兩個函數(shù)沒有公共點，
當(dāng)直線g（x）=mx+1經(jīng)過點A（4，3）時，此時兩個函數(shù)有2個公共點，
此時4m+1=3，則4m=2，則m=$\frac{1}{2}$，
要使兩個函數(shù)有兩個交點，則0＜m≤$\frac{1}{2}$．
即m的取值范圍是0＜m≤$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)與方程的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．