20.函數(shù)f(x)=lg(a•4x+2x-1)
(1)如果x∈(1,2)時(shí),f(x)有意義,確定a的取值范圍;
(2)a≤0,若f(x)值域?yàn)镽,求a的值;
(3)在(2)條件下,g(x)為定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且x>0時(shí),g(x)=10f(x)+1,對(duì)任意的t∈[-1,1],g(x2+tx)≥$\frac{{g}^{3}(x)}{|g(x)|}$恒成立,求x的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)x∈(1,2)時(shí),2x∈(2,4),設(shè)t=2x,不等式a•t2+t-1>0恒成立,求出a的取值范圍即可;
(2)設(shè)h(x)=a•4x+2x-1,則h(x)的值域包含(0,+∞),討論a=0與a<0時(shí),h(x)的值域情況,求出a的值;
(3)根據(jù)題意求出g(x)的解析式,把不等式g(x2+tx)≥$\frac{{g}^{3}(x)}{|g(x)|}$轉(zhuǎn)化為x2+tx≥2x在t∈[-1,1]時(shí)恒成立,由此列出不等式組求出x的取值范圍.

解答 解:(1)∵f(x)=lg(a•4x+2x-1),
∴當(dāng)x∈(1,2)時(shí),2x∈(2,4);
設(shè)t=2x,t∈(2,4),
∴a•t2+t-1>0,
∴a>$\frac{1}{{t}^{2}}$-$\frac{1}{t}$;
設(shè)g(s)=s2-s,s∈($\frac{1}{4}$,$\frac{1}{2}$),
∴g(s)在s∈($\frac{1}{4}$,$\frac{1}{2}$)上是單調(diào)減函數(shù),且g($\frac{1}{4}$)=-$\frac{3}{16}$,
∴a≥-$\frac{3}{16}$,即a的取值范圍是[-$\frac{3}{16}$,+∞);
(2)令h(x)=a•4x+2x-1,由題意,h(x)的值域包含(0,+∞);
①a=0時(shí),h(x)=2x-1,其值域?yàn)椋?1,+∞),滿(mǎn)足條件;
②a<0時(shí),h(x)=a•4x+2x-1=a•(2x2+2x-1,
令t=2x,則h(x)的值域是(-∞,-1-$\frac{1}{4a}$),不滿(mǎn)足條件;
綜上,a=0;
(3)∵f(x)=lg(2x-1),且g(x)為定義域?yàn)镽的奇函數(shù),
當(dāng)x>0時(shí),g(x)=10f(x)+1=2x,
∴x<0時(shí),-x>0,g(-x)=2-x,
∴g(x)=-g(-x)=-2x;
∴g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x},x>0}\\{0,x=0}\\{{-2}^{-x},x<0}\end{array}\right.$,
∴$\frac{{g}^{3}(x)}{|g(x)|}$=g(2x),且x≠0;
∴不等式g(x2+tx)≥$\frac{{g}^{3}(x)}{|g(x)|}$可化為g(x2+tx)≥g(2x);
又g(x)是定義域上的單調(diào)增函數(shù),
∴x2+tx≥2x在t∈[-1,1]時(shí)恒成立,
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-2x≥0}\\{{x}^{2}-x-2x≥0}\\{x≠0}\end{array}\right.$,
解得x<0或x≥3;
∴x的取值范圍是(-∞,0)∪[3,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了分類(lèi)討論與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題,是綜合性題目.

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②若2<x≤4時(shí),h(x)=g(x)-mx-1有兩個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍.

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