Question

20．函數(shù)f（x）=lg（a•4^x+2^x-1）
（1）如果x∈（1，2）時(shí)，f（x）有意義，確定a的取值范圍；
（2）a≤0，若f（x）值域?yàn)镽，求a的值；
（3）在（2）條件下，g（x）為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，g（x）=10^f（x）+1，對(duì)任意的t∈[-1，1]，g（x²+tx）≥$\frac{{g}^{3}（x）}{|g（x）|}$恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)x∈（1，2）時(shí)，2^x∈（2，4），設(shè)t=2^x，不等式a•t²+t-1＞0恒成立，求出a的取值范圍即可；
（2）設(shè)h（x）=a•4^x+2^x-1，則h（x）的值域包含（0，+∞），討論a=0與a＜0時(shí)，h（x）的值域情況，求出a的值；
（3）根據(jù)題意求出g（x）的解析式，把不等式g（x²+tx）≥$\frac{{g}^{3}（x）}{|g（x）|}$轉(zhuǎn)化為x²+tx≥2x在t∈[-1，1]時(shí)恒成立，由此列出不等式組求出x的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=lg（a•4^x+2^x-1），
∴當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，2^x∈（2，4）；
設(shè)t=2^x，t∈（2，4），
∴a•t²+t-1＞0，
∴a＞$\frac{1}{{t}^{2}}$-$\frac{1}{t}$；
設(shè)g（s）=s²-s，s∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
∴g（s）在s∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（$\frac{1}{4}$）=-$\frac{3}{16}$，
∴a≥-$\frac{3}{16}$，即a的取值范圍是[-$\frac{3}{16}$，+∞）；
（2）令h（x）=a•4^x+2^x-1，由題意，h（x）的值域包含（0，+∞）；
①a=0時(shí)，h（x）=2^x-1，其值域?yàn)椋?1，+∞），滿(mǎn)足條件；
②a＜0時(shí)，h（x）=a•4^x+2^x-1=a•（2^x）²+2^x-1，
令t=2^x，則h（x）的值域是（-∞，-1-$\frac{1}{4a}$），不滿(mǎn)足條件；
綜上，a=0；
（3）∵f（x）=lg（2^x-1），且g（x）為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=10^f（x）+1=2^x，
∴x＜0時(shí)，-x＞0，g（-x）=2^-x，
∴g（x）=-g（-x）=-2^x；
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{-2}^{-x}，x＜0}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{g}^{3}（x）}{|g（x）|}$=g（2x），且x≠0；
∴不等式g（x²+tx）≥$\frac{{g}^{3}（x）}{|g（x）|}$可化為g（x²+tx）≥g（2x）；
又g（x）是定義域上的單調(diào)增函數(shù)，
∴x²+tx≥2x在t∈[-1，1]時(shí)恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-2x≥0}\\{{x}^{2}-x-2x≥0}\\{x≠0}\end{array}\right.$，
解得x＜0或x≥3；
∴x的取值范圍是（-∞，0）∪[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分類(lèi)討論與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．