Question

13．已知等差數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，a₁=2，5a₃=3a₅，對任意的n∈N^*，都有$\frac{2_{1}}{{a}_{3}}$+$\frac{2_{2}}{{a}_{4}}$+$\frac{2_{3}}{{a}_{5}}$+…+$\frac{2_{n}}{{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{_{n}}{{S}_{n}}$}的前n項和T．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關(guān)系即可得出；
（2）利用$\frac{_{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{{2}^{n}•n}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}（n+1）}$．，“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁=2，5a₃=3a₅，
∴5（2+2d）=3（2+4d），解得d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
S_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n（n+1）．
∵對任意的n∈N^*，都有$\frac{2_{1}}{{a}_{3}}$+$\frac{2_{2}}{{a}_{4}}$+$\frac{2_{3}}{{a}_{5}}$+…+$\frac{2_{n}}{{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．
∴當n≥2時，$\frac{2_{1}}{{a}_{3}}$+$\frac{2_{2}}{{a}_{4}}$+$\frac{2_{3}}{{a}_{5}}$+…+$\frac{2_{n-1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
∴$\frac{2_{n}}{{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．
∴b_n=$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$．（n≥2）．
當n=1時，b₁=$\frac{3}{4}$，符合上式．
∴b_n=$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$．
（2）$\frac{_{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$$（\frac{n+2}{n}-\frac{n+2}{n+1}）$=$\frac{1}{{2}^{n+1}}（\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{1}{{2}^{n}•n}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}（n+1）}$．
∴數(shù)列{$\frac{_{n}}{{S}_{n}}$}的前n項和T_n=$（\frac{1}{2×1}-\frac{1}{{2}^{2}×2}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}×2}-\frac{1}{{2}^{3}×3}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}•n}-\frac{1}{{2}^{n+1}（n+1）}）$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}（n+1）}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關(guān)系、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．