Question

5．如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G是線段BE的中點，點F在線段CD上且GF∥平面ADE．
（1）求證：BE⊥EF；
（2）求CF長．

Answer 1

分析 （1）由已知可證DC⊥BE，BE⊥EC，可證BE⊥平面ECD，從而證明BE⊥EF；
（2）在平面BEC內，過點B作BQ∥CE，以B為原點，分別以$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{BQ}$，$\overrightarrow{BA}$的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則可求A，B，C，D，E，G的坐標，設坐標F（2，2，z），則可求$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{GF}$的坐標，設$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面ADE的法向量．由$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{2x-2z=0}\end{array}\right.$，可解得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），由$\overrightarrow{GF}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得：1×1+2×（-1）+a×1=0，解得F（2，2，1），利用兩點間距離公式即可得解．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE?平面BEC，
∴DC⊥BE，
∵BE⊥EC，
∵DC∩EC=C，
∴BE⊥平面ECD，
∵EF?平面ECD，
∴BE⊥EF；
（2）如圖，在平面BEC內，過點B作BQ∥CE，
∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE，
又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，
以B為原點，分別以$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{BQ}$，$\overrightarrow{BA}$的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則A（0，0，2），B（0，0，0），C（2，2，0），D（2，2，2），E（2，0，0），G（1，0，0），設坐標F（2，2，z），
則$\overrightarrow{AD}$=（2，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{GF}$=（1，2，a），
設$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面ADE的法向量．由$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{2x-2z=0}\end{array}\right.$，令x=1，可解得：y=-1，z=1，
故$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
由$\overrightarrow{GF}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得：1×1+2×（-1）+a×1=0，解得：a=1，即可得：F（2，2，1），
故：CF=$\sqrt{（2-2）^{2}+（2-2）^{2}+（1-0）^{2}}$=1．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，考查了建立空間直角坐標系，利用空間向量解決線面平行及線面角等立體幾何問題的方法，線面垂直的判定定理及性質，平面法向量的概念及求法，線面平行時，直線和平面的法向量垂直，向量垂直的充要條件，以及線面角的定義及求法，弄清線面角和直線的方向向量和平面法向量夾角的關系．