Question

14．已知CD是△ABC的邊AB上的高，點(diǎn)E、F、G分別是AD、AC、BD的中點(diǎn)，且CD=DB=2，AE=$\sqrt{2}$現(xiàn)沿EF和CD把△AEF和△BCD折起，使A、B兩點(diǎn)重合與點(diǎn)P
（Ⅰ）求證：EG∥平面PFC
（Ⅱ）求平面PEC與平面PFC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PC的中點(diǎn)為H，連結(jié)GH，通過GH為△PDC的中位線、EF是△ADC的中位線，可得四邊形EFHG為平行四邊形，利用線面平行的判定定理即得結(jié)論；
（Ⅱ）根據(jù)題意及勾股定理可以E為原點(diǎn)，分別以EP、ED、EF為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，所求余弦值即為平面PEC的法向量與平面PFC的法向量的夾角的余弦值，計(jì)算即可．

解答 （Ⅰ）證明：取PC的中點(diǎn)為H，連結(jié)GH，
∵G為PD中點(diǎn)，∴GH為△PDC的中位線，
∴GH∥DC且GH=$\frac{1}{2}$DC，
又EF是△ADC的中位線，
∴EF∥CD，EF=$\frac{1}{2}$CD，
∴EF∥GH且EF=GH，
∴四邊形EFHG為平行四邊形，∴EG∥FH，
又FH?平面PFC，EG?平面PFC，
∴EG∥平面PFC；
（Ⅱ）解：∵EP=ED=$\sqrt{2}$，PD=2，
∴EP²+ED²=PD²，∴EP⊥ED，
∵EP=ED，G為PD的中點(diǎn)，∴EG⊥PD，
又CD⊥AB，∴CD⊥DE，CD⊥PD，∴CD⊥平面PED，
∵EF∥CD，∴EF⊥平面PED，∴EF⊥ED，EF⊥EP，
以E為原點(diǎn)，分別以EP、ED、EF為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（$\sqrt{2}$，0，0），F(xiàn)（0，0，1），C（0，$\sqrt{2}$，2），
∴$\overrightarrow{EP}$=（$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{EC}$=（0，$\sqrt{2}$，2），$\overrightarrow{PF}$=（$-\sqrt{2}$，0，1），$\overrightarrow{FC}$=（0，$\sqrt{2}$，1），
設(shè)平面PEC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），則$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{EP}$，$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{EC}$，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{EP}$=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{EC}$=0，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}{x}_{1}=0}\\{\sqrt{2}{y}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取z₁=1，則$\overrightarrow{m}$=（0，-$\sqrt{2}$，1），
設(shè)平面PFC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
取x₂=1，同理可得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\sqrt{2}$），
設(shè)$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴平面PEC與平面PFC所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查中位線定理，線面平行的判定定理，向量數(shù)量積運(yùn)算，注意解題方法的積累，建立坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．