Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}（{x+\frac{1}{x}}）$，g（x）=$\frac{1}{2}（{x-\frac{1}{x}}）$．
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）+2g（x）的零點；
（2）設(shè)F（x）=f²（x）+mf（x）（其中常數(shù)m≥0），求F（x）的最小值；
（3）若直線l：ax+by+c=0（a，b，c為常數(shù)）與f（x）的圖象交于不同的兩點A、B，與g（x）的圖象交于不同的兩點C、D，求證：|AC|=|BD|．

Answer 1

分析 （1）直接利用函數(shù)的零點，求解方程的解即可．
（2）求出F（x）的表達式，求出函數(shù)f（x）的值域，通過$-\frac{m}{2}∈（{-∞，-1}]$，$-\frac{m}{2}∈（{-1，0}]$，分別求解函數(shù)的最小值即可．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），聯(lián)立直線與切線方程，利用韋達定理求解${x_1}+{x_2}=-\frac{2c}{2a+b}$，${x_3}+{x_4}=-\frac{2c}{2a+b}$，判斷AB中點與CD中點重合即可．

解答 解：（1）由$h（x）=\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}=0⇒x=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，函數(shù)h（x）的零點為$x=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…4’
（2）則$F（x）={[{f（x）+\frac{m}{2}}]^2}-\frac{m^2}{4}$…5’
函數(shù)f（x）的值域為（-∞，-1]∪[1，+∞）…6’
若$-\frac{m}{2}∈（{-∞，-1}]$，即m∈[2，+∞），$f（x）=-\frac{m}{2}$時，有$F{（x）_{min}}=-\frac{m^2}{4}$…8’
若$-\frac{m}{2}∈（{-1，0}]$，即m∈[0，2），f（x）=-1時，有F（x）_min=1-m
綜上所述：$F{（x）_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{m^2}{4}}&{m∈[{2，+∞}）}\\{1-m}&{m∈[{0，2}）}\end{array}}\right.$…10’
（3）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）$\left\{{\begin{array}{l}{ax+by+c=0}\\{y=\frac{1}{2}（{x+\frac{1}{x}}）}\end{array}}\right.⇒（{2a+b}）{x^2}+2cx+b=0$，則${x_1}+{x_2}=-\frac{2c}{2a+b}$…14’
同理由$\left\{{\begin{array}{l}{ax+by+c=0}\\{y=\frac{1}{2}（{x-\frac{1}{x}}）}\end{array}}\right.⇒（{2a+b}）{x^2}+2cx-b=0$，則${x_3}+{x_4}=-\frac{2c}{2a+b}$
則AB中點與CD中點重合，即|AC|=|BD|…16’

點評 本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，證明距離相等的方程，考查分析問題解決問題的能力．