Question

18．現(xiàn)有5個紅色氣球和4個黃色氣球，紅色氣球內分別裝有編號為1、3、5、7、9的號簽，黃色氣球內分別裝有編號為2、4、6、8的號簽，參加游戲者，先對紅色氣球隨機射擊一次，記所得編號為a，然后對黃色氣球隨機射擊一次，若所得編號為2a，則游戲結束；否則再對黃色氣球隨機射擊一次，將從黃色氣球中所得編號相加，若和為2a，則游戲結束；否則繼續(xù)對剩余的黃色氣球進行射擊，直到和為2a為止，或者到黃色氣球打完為止，游戲結束．
（1）求某人只射擊兩次的概率；
（2）若某人射擊氣球的次數(shù)ξ與所得獎金的關系為η=10（5-ξ），求他所得獎金η的布列和期望．

Answer 1

分析 （1）某人只射擊兩次包含兩種情況：第一次擊中1號球，第二次擊中2號球，或第一次擊中3號球，第二次擊中6號球，由此能求出某人只射擊兩次的概率．
（2）由題意獎金η的可能取值為0，10，20，30，分別求出相應的概率，由此能求出他所得獎金η的布列和期望．

解答 解：（1）某人只射擊兩次包含兩種情況：
第一次擊中1號球，第二次擊中2號球，或第一次擊中3號球，第二次擊中6號球，
∴某人只射擊兩次的概率p=$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}+\frac{1}{5}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{10}$．
（2）由題意獎金η的可能取值為0，10，20，30，
P（η=30）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}+\frac{1}{5}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{10}$，
P（η=20）=$\frac{1}{5}×2×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}×4×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}×2×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{2}{15}$，
P（η=10）=$\frac{1}{5}×{A}_{3}^{3}×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{5}×{A}_{3}^{3}×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{10}$，
P（η=0）=1-$\frac{1}{10}-\frac{2}{15}-\frac{1}{10}$=$\frac{2}{3}$，
∴η的分布列為：

η	0	10	20	30
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{10}$

Eη=$0×\frac{2}{3}+10×\frac{1}{10}+20×\frac{2}{15}+30×\frac{1}{10}$=$\frac{20}{3}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．