Question

5．曲線y=1+$\sqrt{4-{x^2}}$（|x|≤2）與直線y=k（x-2）+4只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是$k=\frac{5}{12}或k＞\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 曲線表示一個(gè)半圓，直線經(jīng)過定點(diǎn)A（2，4）．由圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，求出當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（-2，1），（2，1）時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值，即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：曲線y=1+$\sqrt{4-{x^2}}$（|x|≤2）即 x²+（y-1）²=4，表示以C（0，1）為圓心、半徑r=2的半圓（圓位于直線y=1的上方（含直線y=1））．
y=k（x-2）+4，經(jīng)過定點(diǎn)A（2，4）．
由圓心到直線的距離等于半徑可得$\frac{|2k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，求得k=$\frac{5}{12}$，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（-2，1）時(shí)，直線的斜率為$\frac{4-1}{2-（-2）}$=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（2，1）時(shí)，直線的斜率為不存在
綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍：$k=\frac{5}{12}或k＞\frac{3}{4}$．
故答案為：$k=\frac{5}{12}或k＞\frac{3}{4}$

點(diǎn)評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．