Question

19．在△ABC中，tanA+tanB-$\sqrt{3}$tanAtanB=-$\sqrt{3}$，且a，b恰好為一元二次方程x²-mx+8=0的兩根，則S_△ABC=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由條件利用兩角和的正切公式求得tanC=$\sqrt{3}$，可得C=$\frac{π}{3}$，再利用韋達(dá)定理求得ab=8，可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$•ab•sinC的值．

解答 解：△ABC中，∵tanA+tanB-$\sqrt{3}$tanAtanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）-$\sqrt{3}$tanAtanB=-$\sqrt{3}$，
∴tan（A+B）=-$\sqrt{3}$=-tanC，∴tanC=$\sqrt{3}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
又∵a，b恰好為一元二次方程x²-mx+8=0的兩根，∴ab=8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•ab•sinC=$\frac{1}{2}$•8•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，韋達(dá)定理，屬于基礎(chǔ)題．