Question

15．已知函數(shù)f（x）=1+2sinxcosx-2sin²x（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）解不等式：f（x）≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二倍角及輔助角公式將f（x）轉(zhuǎn)化為f（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$），利用周期公式即可求得函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）由（1）可知：將不等式轉(zhuǎn)化為sin（2x+$\frac{π}{4}$）≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)即可求得不等式解決．

解答 解：（1）f（x）=1+2sinxcosx-2sin²x=cos2x+sin2x=sin（2x+$\frac{π}{4}$），
函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，
函數(shù)f（x）的最小正周期π；
（2）f（x）≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$．即sin（2x+$\frac{π}{4}$）≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)可知：2kπ+$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z，
解得：kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴不等式f（x）≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$解集為{x丨kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z}．

點(diǎn)評 本題考查三角恒等變換公式的應(yīng)用，考查正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．