10.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1(側(cè)棱垂直于底面的棱柱為直棱柱)中,BC=CC1=1,AC=2,∠ABC=90°.
(1)求證:平面ABC1⊥平面A1B1C;
(2)設(shè)D為AC的中點(diǎn),求平面ABC1與平面C1BD所成銳角的余弦值.

分析 (1)由四邊形BCC1B1是正方形得BC1⊥B1C,由A1B1⊥平面BCC1B1得出A1B1⊥BC1,故BC1⊥平面A1B1C,從而平面ABC1⊥平面A1B1C;
(2)建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法即可平面ABC1與平面C1BD所成銳角的余弦值.

解答 證明:(1)∵直三棱柱ABC-A1B1C1,BC=CC1
∴四邊形BCC1B1是正方形,
∴BC1⊥B1C,
∵AB⊥BC,AB⊥BB1,BC,BB1?平面BCC1B1,BC∩BB1=B,
∴AB⊥平面BCC1B1,∵BC1?平面BCC1B1,
∴AB⊥BC1,又∵AB∥A1B1,
∴A1B1⊥BC1,又A1B1?平面平面A1B1C,B1C?平面A1B1C,A1B1∩B1C=B1,
∴BC1⊥平面A1B1C,又BC1?平面ABC1
∴平面ABC1⊥平面A1B1C.
(2)∵BC=CC1=1,AC=2,∠ABC=90°.
∴AB=$\sqrt{3}$,
建立以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BC,BA,BB1分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖:
則B(0,0,0),C(1,0,0),B1(0,0,1),A(0,$\sqrt{3}$,0),C1(1,0,1),D($\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$,0),
設(shè)平面ABC1的法向量為$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
則$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=(1,0,1),$\overrightarrow{BA}$=(0,$\sqrt{3}$,0),
則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=x+z=0,$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BA}$=$\sqrt{3}$y=0,
令x=1,則z=-1,y=0,即平面ABC1的法向量為,$\overrightarrow{m}$=(1,0,-1),
設(shè)平面C1BD的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=(1,0,1),$\overrightarrow{BD}$=($\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$,0),
則$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=x+z=0,$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$y=0,
令y=1,則x=-$\sqrt{3}$,z=$\sqrt{3}$,即平面C1BD的法向量為,$\overrightarrow{n}$=(-$\sqrt{3}$,1,$\sqrt{3}$),
則$cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}•\sqrt{3+3+1}}$=$\frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{2}•\sqrt{7}}$=-$\frac{\sqrt{42}}{7}$
則平面ABC1與平面C1BD所成銳角的余弦值是$\frac{\sqrt{42}}{7}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解,建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法解二面角是解決本題的關(guān)鍵.

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