Question

11．已知一家公司生產(chǎn)某種品牌運(yùn)動(dòng)服的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需要投入3萬元，設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌運(yùn)動(dòng)服x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R（x）萬元，且R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{50}{x}+13-x（0＜x≤10）}\\{\frac{100}{{x}^{2}}+\frac{40}{x}+3（x≥10）}\end{array}\right.$．
（1）寫出年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千克）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌運(yùn)動(dòng)服的生產(chǎn)中所獲利潤最大？（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）

Answer 1

分析 （1）利用年利潤=年銷售收入-年總成本，分0＜x≤10、x≥10兩種情況討論即可；
（2）當(dāng)0＜x≤10時(shí)通過配方可知當(dāng)x=5時(shí)W取最大值65，當(dāng)x≥10時(shí)可知W≤40，進(jìn)而比較可得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，W=xR（x）-（10+3x）=-x²+10x+40，
當(dāng)x≥10時(shí)，W=xR（x）-（10+3x）=$\frac{100}{x}$+30，
∴W=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+10x+40，0＜x≤10}\\{\frac{100}{x}+30，x≥10}\end{array}\right.$；
（2）①當(dāng)0＜x≤10時(shí)，由W=-（x-5）²+65可知
當(dāng)x=5時(shí)W取最大值，且W_max=65；
②當(dāng)x≥10時(shí)，W≤$\frac{100}{10}$+30=40；
綜合①②知當(dāng)x=5時(shí)，W取最大值65萬元，
故當(dāng)年產(chǎn)量為5千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查分類討論的思想，考查配方法求函數(shù)的最值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．