Question

16．在等差數(shù)列{a_n}中，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，滿足a₅=-1，S₅=-12
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求前n項(xiàng)和為S_n，并指出當(dāng)n為何值時(shí)，S_n取最小值；
（3）若T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T_n．

Answer 1

分析 設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d，S_n=$n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$．
（1）通過a₅=-1、S₅=-12，計(jì)算可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知S_n=$\frac{7{n}^{2}-83n}{20}$，通過f（x）=7x²-83x的圖象是以x=$-\frac{-83}{2×7}$=$\frac{83}{14}$為對(duì)稱軸、開口向上的拋物線，再比較S₅、S₆即可；
（3）由（2）知，a₆＜0、a₇＞0，通過題意，得T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{S}_{n}，}&{n≤6}\\{{S}_{n}-2{S}_{6}，}&{n＞7}\end{array}\right.$，化簡(jiǎn)即可．

解答 解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d，S_n=$n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$．
（1）∵a₅=-1，S₅=-12，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{5}={a}_{1}+（5-1）d=-1}\\{{S}_{5}=5{a}_{1}+\frac{5（5-1）}{2}d=-12}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-\frac{19}{5}}\\{d=\frac{7}{10}}\end{array}\right.$，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=$-\frac{19}{5}+\frac{7}{10}（n-1）$=$\frac{7}{10}n-\frac{9}{2}$；
（2）由（1）知S_n=$n×（-\frac{19}{5}）+\frac{n（n-1）}{2}×\frac{7}{10}$=$\frac{7{n}^{2}-83n}{20}$，
記f（x）=7x²-83x，則f（x）的圖象是以x=$-\frac{-83}{2×7}$=$\frac{83}{14}$為對(duì)稱軸、開口向上的拋物線，
∵$6=\frac{84}{14}$＞$\frac{83}{14}$$＞\frac{70}{14}=5$，S₅=$\frac{7×{5}^{2}-83×5}{20}$=-12，S₆=$\frac{7×{6}^{2}-83×6}{20}$=$-\frac{123}{10}$，
∴當(dāng)n=6時(shí)，S₆取最小值；
（3）由（2）知，令a_n=$\frac{7}{10}n-\frac{9}{2}$=0，即n=$\frac{45}{7}$，
故a₆=$-\frac{3}{10}$＜0，a₇=$\frac{4}{10}$＞0，
∴當(dāng)n≤6時(shí)，S_n=$\frac{7{n}^{2}-83n}{20}$，
∵T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{S}_{n}，}&{n≤6}\\{{S}_{n}-2{S}_{6}，}&{n＞7}\end{array}\right.$，
又∵S₆=$-\frac{123}{10}$，∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7{n}^{2}-83n}{20}，}&{n≤6}\\{\frac{7{n}^{2}-83n+492}{20}，}&{n＞7}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，考查函數(shù)的單調(diào)性，注意解題方法的積累，屬于中檔題．