Question

1．如圖，A、D分別是矩形A₁BCD₁上的點，AB=2AA₁=2AD=2，DC=2DD₁，把四邊形A₁ADD₁沿AD折疊成直二面角，連接A₁B，D₁C得幾何體ABA₁-DCD₁．
（1）當點E在棱AB上移動，證明：D₁E⊥A₁D；
（2）在棱AB上是否存在點E，使二面角D₁-EC-D的平面角為$\frac{π}{6}$？若存在，求出AE的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先以D為坐標原點，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，A₁，D，D₁幾點坐標可以求出，設E（1，y₀，0），求$\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0$即可證明D₁E⊥A₁D；
（2）假設棱AB上存在點E，使二面角D₁-EC-D的平面角為$\frac{π}{6}$，并設E（1，y₀，0），設$\overrightarrow{r}=（x，y，z）$是平面D₁CE的一條法向量，而根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{r}•\overrightarrow{{D}_{1}E}=0}\\{\overrightarrow{r}•\overrightarrow{CE}=0}\end{array}\right.$即可求得$\overrightarrow{r}=（{y}_{0}-1，1，1）$，而$\overrightarrow{D{D}_{1}}$顯然是平面DCE的一條法向量，這兩法向量的夾角應為$\frac{π}{6}$，帶入向量夾角的余弦公式即可得到關于y₀的方程，方程有解便存在E，否則不存在．

解答 解：（1）以D為坐標原點，邊DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
可以確定以下幾點坐標：
D（0，0，0），D₁（0，0，1），A₁（1，0，1），C（0，2，0），設E（1，y₀，0），0≤y₀≤2；
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}=（-1，0，-1）$，$\overrightarrow{{D}_{1}E}=（1，{y}_{0}，-1）$；
$\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0$；
∴D₁E⊥A₁D；
（2）假設存在E（1，y₀，0）使二面角D₁-EC-D的平面角為$\frac{π}{6}$，其中0≤y₀≤2；
DD₁⊥平面DCE；
∴$\overrightarrow{D{D}_{1}}=（0，0，1）$可作為平面DCE的一條法向量；
設平面D₁CE的一條法向量為$\overrightarrow{r}=（x，y，z）$，則：
$\overrightarrow{r}⊥\overrightarrow{{D}_{1}E}，\overrightarrow{r}⊥\overrightarrow{CE}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{r}•\overrightarrow{{D}_{1}E}=x+{y}_{0}y-z=0}\\{\overrightarrow{r}•\overrightarrow{CE}=x+{（y}_{0}-2）y=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=（2-{y}_{0}）y}\\{z=2y}\end{array}\right.$，取y=1；
∴平面D₁CE的一條法向量為$\overrightarrow{r}=（2-{y}_{0}，1，2）$；
∴$\overrightarrow{D{D}_{1}}$，和$\overrightarrow{r}$所成角為$\frac{π}{6}$；
∴$cos\frac{π}{6}=\frac{2}{\sqrt{（2-{y}_{0}）^{2}+1+4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴整理得$3{{y}_{0}}^{2}-12{y}_{0}+11=0$；
解得${y}_{0}=2-\frac{\sqrt{3}}{3}，或2+\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍去）；
∴$E（1，2-\frac{\sqrt{3}}{3}，0）$，A（1，0，0）；
∴$|AE|=2-\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴在棱AB上存在點E，使二面角D₁-EC-D的平面角為$\frac{π}{6}$，且|AE|=$2-\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 考查建立空間直角坐標系，利用空間向量解決立體幾何問題的方法，空間兩非零向量垂直的充要條件，以及平面法向量的概念及求法，平面法向量的夾角和兩平面形成二面角平面角的關系，向量夾角余弦公式的坐標運算，數(shù)量積的坐標運算．