Question

16．已知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1（a∈R）．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）最大值為4，求a的值．
（3）在（2）的條件下，求滿足f（x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行求解即可，
（2）求出角的范圍，結(jié)合函數(shù)的最值進行求解即可，
（3）根據(jù)三角函數(shù)的值建立方程關(guān)系進行求解即可．

解答 解：（1）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得 kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈z．
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為2+a+1=4，即a=1．
（3）當a=1時，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，
由f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2=1得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
即2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{7π}{6}$或2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{11π}{6}$，
得x=kπ+$\frac{π}{2}$或x=kπ-$\frac{π}{6}$，
∵x∈[-π，π]，∴得x=$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，最值的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．