Question

4．設(shè)a、b、c是正數(shù)，若$\frac{b+c}{a}$，$\frac{c+a}$，$\frac{a+b}{c}$成等差數(shù)列，判斷$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$，$\frac{1}{c}$是不是也成等差數(shù)列？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可．

解答 解：$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$，$\frac{1}{c}$也成等差數(shù)列．理由如下：
∵$\frac{b+c}{a}$，$\frac{c+a}$，$\frac{a+b}{c}$成等差數(shù)列，
∴2×$\frac{c+a}$=$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+b}{c}$，
∴2×$\frac{c+a+b-b}$=$\frac{b+c+a-a}{a}$+$\frac{a+b+c-c}{c}$，
∴2×（$\frac{a+b+c}$-1）=$\frac{a+b+c}{a}$-1+$\frac{a+b+c}{c}$-1，
∴2×$\frac{a+b+c}$=$\frac{a+b+c}{a}$+$\frac{a+b+c}{c}$，
∵設(shè)a、b、c是正數(shù)，a+b+c＞0，
∴$\frac{2}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$，
∴$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$，$\frac{1}{c}$也成等差數(shù)列．

點(diǎn)評 本題主要考查等差數(shù)列的定義和判斷，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．