Question

11．已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，其內(nèi)接△ABC的重心是焦點(diǎn)F，若直線BC的方程為4x+y-20=0．
（1）求拋物線方程；
（2）過拋物線上一動點(diǎn)M作拋物線切線l，又MN⊥l且交拋物線于另一點(diǎn)N，ME（E在M的右側(cè)）平行于x軸，若∠FMN=λ∠NME，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)拋物線方程為y²=4px，然后表示出焦點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線和直線方程聯(lián)立可消去y得到4x²-（p+40）x+100=0，進(jìn)而可得到B，C的橫坐標(biāo)之和與縱坐標(biāo)之和，再由A點(diǎn)在拋物線上得到坐標(biāo)滿足拋物線方程，最后將A，B，C的坐標(biāo)代入△ABC重心坐標(biāo)公式可求得p的值，從而確定拋物線方程；
（2）設(shè)M（$\frac{{m}^{2}}{16}$，m），由y²=16x，兩邊對x求導(dǎo)，求得切線的斜率，再由兩直線的到角公式可得tan∠FMN=tan∠NME，即可得到所求值．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的方程為y²=4px，則其焦點(diǎn)為（p，0），
與直線方程4x+y-20=0聯(lián)立，有（-4x+20）²=4px
∴4x²-（p+40）x+100=0，且y=-4x+20，
該方程的解為B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)（x₂，y₂），（x₃，y₃），
x₂+x₃=$\frac{p+40}{4}$（1）
y₂+y₃=-4（x₂+x₃）+40=-p （2）
設(shè)A（x₁，y₁），∵A在拋物線上
∴y₁²=4px₁（3），
△ABC重心坐標(biāo)為：（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}}{3}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}}{3}$）
∵重心為拋物線焦點(diǎn)，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}}{3}$=p，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}}{3}$=0，
將（1），（2）代入，得：
x₁+$\frac{p+40}{4}$=3p，y₁-p=0，
與（3）聯(lián)立，三個(gè)方程，x₁，y₁，p三個(gè)未知數(shù)，
解得p=4，
故拋物線的方程為y²=16x；
（2）設(shè)M（$\frac{{m}^{2}}{16}$，m），由y²=16x，兩邊對x求導(dǎo)，可得
2yy′=16，即有切線的斜率為k=$\frac{8}{m}$，
由兩直線垂直可得MN的斜率為-$\frac{m}{8}$，
由F（4，0），
可得直線MF的斜率為$\frac{16m}{{m}^{2}-64}$，
由直線MN到直線MF的角的公式可得，
tan∠FMN=$\frac{\frac{16m}{{m}^{2}-64}+\frac{m}{8}}{1-\frac{16m}{{m}^{2}-64}•\frac{m}{8}}$=-$\frac{m}{8}$，
由題意可得tan∠FME=$\frac{m}{8}$，
由∠NME，∠FMN均為銳角，
則∠NME=∠FMN，
可得λ=1．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的聯(lián)立問題，考查直線和拋物線相切的條件，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，同時(shí)考查兩直線的到角公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．