Question

12．已知f（x）=|x+2|+|x-1|．
（1）解不等式f（x）≥7；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＞2a²-a對(duì)任意的x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對(duì)值的意義求得不等式f（x）≥7的解集．
（2）由條件利用絕對(duì)值三角不等式求得f（x）的最小值為3，再根據(jù)2a²-a＜3 求得a的取值范圍．

解答 解：（1）不等式f（x）≥7，即|x+2|+|x-1|≥7．
由于|x+2|+|x-1|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-2、1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，而-4和3對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-2、1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于7，
故f（x）≥5的解集是（-∞，-4]∪[3，+∞）．
（2）因?yàn)閨x+2|+|x-1|≥|x-1-（x+2）|=3，所以f（x）的最小值為3．
要使得關(guān)于x的不等式f（x）＞2a²-a對(duì)任意的x∈R恒成立，只需2a²-a＜3，
解得-1＜a＜$\frac{3}{2}$，故a的取值范圍是（-1，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．