Question

2．已知圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)（-1，$\sqrt{3}$）．
（1）求圓的方程；
（2）若直線l₁：x-$\sqrt{3}$y+b=0與此圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求b的值；
（3）求直線l₂：x-$\sqrt{3}y+2\sqrt{3}$=0被此圓截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由已知得圓心為（0，0），由兩點(diǎn)間距離公式求出半徑，由此能求出圓的方程．
（2）由已知得l₁與圓相切，由圓心（0，0）到l₁的距離等于半徑2，利用點(diǎn)到直線的距離公式能求出b．
（3）先求出圓心（0，0）到l₂的距離d，所截弦長(zhǎng)l=2$\sqrt{{r}^{2}-2us8s46^{2}}$，由此能求出弦長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)（-1，$\sqrt{3}$），
∴圓心為（0，0），半徑r=$\sqrt{（0+1）^{2}+（0-\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴圓的方程為x²+y²=4．…（4分）
（2）∵直線l₁：x-$\sqrt{3}$y+b=0與此圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴l(xiāng)₁與圓相切，則圓心（0，0）到l₁的距離等于半徑2，即$\frac{|b|}{\sqrt{1+3}}$=2，
解得b=±4．…（8分）
（3）∵直線l₂：x-$\sqrt{3}y+2\sqrt{3}$=0與圓x²+y²=4相交，
圓心（0，0）到l₂的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}|}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴所截弦長(zhǎng)l=2$\sqrt{{r}^{2}-c4kg0c4^{2}}$=2$\sqrt{4-3}$=2．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，考查弦長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．