Question

16．已知函數(shù)f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）對(duì)函數(shù)解析式合并同類項(xiàng)后，利用二倍角公式和兩角和公式化簡，然后利用三角函數(shù)的周期公式即可計(jì)算得解．
（2）利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，令2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤π+2kπ，解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；令2kπ+π≤2x+$\frac{π}{4}$≤2π+2kπ，解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x
=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）-sin2x=cos2x-sin2x
=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x）
=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴令2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤π+2kπ，解得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
可得：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z），
∴令2kπ+π≤2x+$\frac{π}{4}$≤2π+2kπ，解得kπ+$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$，k∈Z，
可得：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握．