Question

1．已知雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，A、B分別為其左、右頂點(diǎn)，P是雙曲線右支上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，則k_PA+k_PB的取值范圍是（　�。�

• A． [2，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． [$\frac{5}{2}$，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的方程求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），得到k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$+$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$=m，根據(jù)p的位置即可判斷m的范圍，即斜率的范圍．

解答 解：雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，A、B分別為其左、右頂點(diǎn)（-2，0），（2，0），設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），
根據(jù)點(diǎn)P是雙曲線左支上位于x軸上方的點(diǎn)，則$\frac{1}{4}$x₀²-y₀²=1，則x₀²-4=4y₀²，
∴k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$+$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{y}_{0}（2{x}_{0}）}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$=m，
則x₀=2my₀，
∴（m-1）y₀²=1，
∴y₀²=$\frac{1}{m-1}$＞0，
∴m＞1，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題借助于雙曲線中的一條動(dòng)直線的斜率取值范圍問(wèn)題，著重考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)和函數(shù)的值域與最值等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．