Question

10．已知點(diǎn)F（-c，0）（c＞0）是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，離心率為e，過(guò)F且平行于雙曲線漸近線的直線與圓x²+y²=c²交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在拋物線y²=4cx上，則e²等于$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 利用拋物線的性質(zhì)、雙曲線的漸近線、直線平行的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖，設(shè)拋物線y²=4cx的準(zhǔn)線為l，作PQ⊥l于Q，
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F′，P（x，y）．
由題意可知FF′為圓x²+y²=c²的直徑
∴PF′⊥PF，且tan∠PFF′=$\frac{a}$，|FF′|=2c，
滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4cx①}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}②}\\{\frac{y}{x+c}=\frac{a}③}\end{array}\right.$，
將①代入②得x²+4cx-c²=0，
則x=-2c±$\sqrt{5}$c，
即x=（$\sqrt{5}$-2）c，（負(fù)值舍去）
代入③，即y=$\frac{（\sqrt{5}-1）bc}{a}$，再將y代入①得，$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4（\sqrt{5}-2）}{（\sqrt{5}-1）^{2}}$=e²-1
即e²=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)，掌握拋物線的性質(zhì)、雙曲線的漸近線、直線平行的性質(zhì)、圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．