Question

【題目】已知函數.

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若曲線與直線只有一個交點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）和；（2）.

【解析】

試題（1）求點處的切線方程，只要求出導數，則有切線方程為；（2）曲線與直線只有一個交點，說明關于的方程只有一個實根，不可能是根，因此方程可轉化為方程只有一個實根，這樣問題又轉化為函數的圖象與直線只有一個交點，因此只要研究函數的單調性，極值，函數值變化情況，作出簡圖就可得出結論．

試題解析：（1），，，所以切線方程為.

（2）曲線與直線只有一個交點，等價于關于的方程只有一個實根.

顯然，所以方程只有一個實根.

設函數，則.

設，，為增函數，又.

所以當時，，為增函數；

當時，，為減函數；

當時，，為增函數；

所以在時取極小值.

又當趨向于時，趨向于正無窮；

又當趨向于負無窮時，趨向于負無窮；

又當趨向于正無窮時，趨向于正無窮.所以圖象大致如圖所示：

所以方程只有一個實根時，實數的取值范圍為.