Question

3．已知函數y=3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）
（1）用五點法在給定的坐標系中作出函數的一個周期的圖象；
（2）求函數的單調區(qū)間；
（3）求此函數的圖象的對稱軸方程、對稱中心．

Answer 1

分析 （1）用五點法求出對應的點的坐標，即可在坐標系中作出函數一個周期的圖象；
（2）本題考察的是求正弦函數的單調區(qū)間問題，只需把ωx+φ代入相應的單調遞增和單調遞減區(qū)間，解不等式即可求出相應的單調區(qū)間．
（3）本題考察的是求正弦函數的對稱軸和對稱中心問題，只需把ωx+φ代入相應的對稱軸和對稱中心的公式，經過計算即可求出對稱軸和對稱中心的表達式．

解答 解：（1）列表如下：

x	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$	$\frac{9π}{2}$
$\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}$	0	$\frac{1}{2}π$	π	$\frac{3}{2}π$	2π
$3sin（{\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}}）$	0	3	0	-3	0

描點、連線，作圖如下：

（2）當$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$時，解得：$4kπ-\frac{π}{2}≤x≤4kπ+\frac{3π}{2}，k∈Z$．
所以，單調增區(qū)間是$[{4kπ-\frac{π}{2}，4kπ+\frac{3π}{2}}]（{k∈Z}）$，
同理，單調減區(qū)間是$[{4kπ+\frac{3π}{2}，4kπ+\frac{7π}{2}}]（{k∈Z}）$．
（3）令$\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+kπ（{k∈Z}）$，可得：對稱軸方程是$x=2kπ+\frac{3π}{2}（{k∈Z}）$，
令$\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}=kπ（{k∈Z}）$，可得：$x=2kπ+\frac{π}{2}（{k∈Z}）$，可得對稱中心是$（{2kπ+\frac{π}{2}，0}）（{k∈Z}）$．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，要求熟練掌握五點作圖法，以及熟練掌握三角函數的有關概念和性質，屬于基礎題．