Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=9，其前n項(xiàng)和為S_n，對n∈N^*，n≥2，都有S_n=3（S_n-1+3）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{S_n+$\frac{9}{2}$}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）若b_n=-2log₃a_n+20，n∈N^*，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n=3（S_n-1-3），S_n+1=3（S_n-3），相減可得a_n+1=3a_n．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（Ⅱ）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得S_n，變形即可得出．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知b_n=-2log₃a_n+20=-2n+18，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=3（S_n-1-3），S_n+1=3（S_n-3），
∴a_n+1=3a_n．
故{a_n}是公比為3，首項(xiàng)為9的等比數(shù)列，${a_n}={3^{n+1}}$，
（Ⅱ）∵${a_n}=9•{3^{n-1}}$，
∴${S_n}=\frac{{9（1-{3^n}）}}{1-3}=-\frac{9}{2}+\frac{9}{2}•{3^n}$，
∴${S_n}+\frac{9}{2}=\frac{9}{2}•{3^n}=\frac{27}{2}•{3^{n-1}}$，${S_1}+\frac{9}{2}=\frac{9}{2}•3=\frac{27}{2}，\;\;\frac{{{S_{n+1}}+\frac{9}{2}}}{{{S_n}+\frac{9}{2}}}=\frac{{\frac{27}{2}{3^n}}}{{\frac{27}{2}{3^{n-1}}}}=3$．
故數(shù)列$\left\{{{S_n}+\frac{9}{2}}\right\}$是$\frac{27}{2}$為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知b_n=-2log₃a_n+20=-2n+18，
∴{b_n}是公差為-2．首項(xiàng)為16的等差數(shù)列．
∴${T_n}=-{n^2}+17n$，
∵b₈＞0，b₉=0，b₁₀＜0，
∴T₈或T₉最大，最大值為72．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．