Question

13．某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件需另投入成本G（x）萬元．當年產(chǎn)量不足80千件時，$G（x）=\frac{1}{3}{x^2}+10x$（萬元）；當年產(chǎn)量不小于80千件時，$G（x）=51x+\frac{10000}{x}-1450$（萬元）．已知每千件商品售價為50萬元．通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．記該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲年利潤為y（萬元）．
（1）寫出y關于x的函數(shù)關系式；
（2）求年利潤y（萬元）的最大值及相應的年產(chǎn)量x（千件）．

Answer 1

分析 （1）討論當0＜x＜80時，y=50x-250-G（x）=-$\frac{1}{3}$x²+40x-250；當x≥80時，y=50x-250-G（x）=1200-x-$\frac{10000}{x}$．即可得到所求分段函數(shù)解析式；
（2）分別運用二次函數(shù)的最值的求法和基本不等式，即可得到所求函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）當0＜x＜80時，y=50x-250-G（x）=-$\frac{1}{3}$x²+40x-250；
當x≥80時，y=50x-250-G（x）=1200-x-$\frac{10000}{x}$．
即有y關于x的函數(shù)關系式為$y=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{3}{x^2}+40x-250，0＜x＜80\\ 1200-x-\frac{10000}{x}，x≥80.\end{array}\right.$；
（2）若0＜x＜80，則$y=-\frac{1}{3}{（{x-60}）^2}+950$，
x=60時，y_max=950（萬元）；
若x≥80，則$y=1200-（{x+\frac{10000}{x}}）$$≤1200-2\sqrt{x•\frac{10000}{x}}=1000$，
當且僅當$x=\frac{10000}{x}，即x=100$時取等號．
綜上，當年產(chǎn)量為100千件時，該廠所獲年利潤最大，最大值是1000萬元．

點評 本題考查函數(shù)模型的應用題的解法，主要考查分段函數(shù)的解析式和最值的求法，注意運用二次函數(shù)和基本不等式求最值，考查運算能力，屬于中檔題．