Question

11．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中（底面為正三角形且側棱垂直于底面的三棱柱叫正三棱柱），各棱長都是4，D是BC的中點．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求直線A₁C與平面BCC₁B₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）證明在棱CC₁上存在一點F，使得DF⊥AC，并求AF的長．

Answer 1

分析 （I）轉化為直線與直線的平行問題證明OD∥A₁C，
（II）利用直線與平面的垂直問題確定直線與平面的夾角：∠A₁CE為直線A₁C與平面BCC₁B₁所成的角，轉化為直角三角形求解．
（III）利用平面直線的性質得出Rt△CDF∽Rt△C₁CE，確定∠C₁CE+∠CFD=$\frac{π}{2}$，即得證DF⊥CE，DF⊥A₁C
判斷Rt△ADF在考慮邊長關系求解．

解答 解：（Ⅰ）
連接A₁B交AB₁于O，連接OD
∵四邊形ABB₁A₁為正方形
∴O為A₁B的中點
又∵D是BC中點
∴OD∥A₁C
∵OD?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D
∴A₁C∥平面AB₁D
（Ⅱ）過A₁作A₁E⊥B₁C₁，E，連接CE
∵平面A₁B₁C₁⊥平面BCC₁B₁
平面A₁B₁C₁∩平面BCC₁B₁=B₁C₁
∴A₁E⊥平面BCC₁B₁
∴CE為直線A₁C在平面BCC₁B₁上的投影
∴∠A₁CE為直線A₁C與平面BCC₁B₁所成的角，
在Rt△A₁C₁C中
A₁C=$\sqrt{A{C}^{2}+A{{A}_{1}}^{2}}$=$4\sqrt{2}$，
在△A₁B₁C₁中
A₁E=2$\sqrt{3}$
在Rt△A₁CE中，sin∠A₁CE=$\frac{{A}_{1}E}{{A}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$
（Ⅲ）當$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{C{C}_{1}}$時，DF⊥A₁C
在正方形BCC₁B₁中，D，E分別是BC，B₁C₁的中點
∴$\frac{CD}{C{C}_{1}}$=$\frac{CF}{{C}_{1}E}$=$\frac{1}{2}$，
∴Rt△CDF∽Rt△C₁CE
∴∠CDF=∠C₁CE
∵∠CDF+∠CFD=$\frac{π}{2}$，
∴∠C₁CE+∠CFD=$\frac{π}{2}$，
∴DF⊥CE
由（Ⅱ）可知A₁E⊥平面BCC₁B₁
DF?平面BCC₁B₁，∴A₁E⊥DF
∵A₁E∩CE=E，∴DF⊥平面A₁CE
∵A₁C?平面A₁CE
∴DF⊥A₁C
在Rt△ADF中 AF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{17}$．

點評 本題考查了直線平面的位置關系，平行，垂直的問題，求解空間角，運算較復雜，對學生的空間思維能力要求較高．