Question

8．已知f（x）=-$\sqrt{{x}^{2}-4}$（x≤-2），數(shù)列{a_n} 滿足 a₁=-1，a_n=f^-1（a_n-1）（n≥2），求通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的反函數(shù)，注意函數(shù)的定義域，由題意可得數(shù)列{a_n²}是1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求通項(xiàng)公式a_n．

解答 解：y=f（x）=-$\sqrt{{x}^{2}-4}$（x≤-2），
即有x²=4+y²，
即x=-$\sqrt{4+{y}^{2}}$，
即有y=f（x）的反函數(shù)為y=f^-1（x）=-$\sqrt{4+{x}^{2}}$（x≤0），
由a_n=f^-1（a_n-1）（n≥2），可得
a_n=-$\sqrt{4+{{a}_{n-1}}^{2}}$，
即有a_n²-a_n-1²=4，
則數(shù)列{a_n²}是1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，
即有a_n²=1+4（n-1）=4n-3，
由a_n＜0，可得
a_n=-$\sqrt{4n-3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用構(gòu)造數(shù)列法，同時(shí)考查函數(shù)的反函數(shù)的求法，屬于中檔題．