Question

14．如圖所示，橢圓C：x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1（0＜m＜1）的左頂點(diǎn)為A，M是橢圓C上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)．
（Ⅰ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{7}{5}$，$\frac{4\sqrt{3}}{5}$），求m的值；
（Ⅱ）若橢圓C上存在點(diǎn)M，使得OP⊥OM，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知M是線段AP的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M坐標(biāo)，代入橢圓方程即可得到m值；
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀）（-1＜x₀＜1），則x₀²+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{m}$=1①由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用M坐標(biāo)表示P點(diǎn)坐標(biāo)，由OP⊥OM得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0②，聯(lián)立①②消去y₀，分離出m用基本不等式即可求得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）依題意，M是線段AP的中點(diǎn)，
因?yàn)锳（-1，0），P（$\frac{7}{5}$，$\frac{4\sqrt{3}}{5}$），
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{1}{5}$，$\frac{2\sqrt{3}}{5}$）．
由于點(diǎn)M在橢圓C上，即有$\frac{1}{25}$+$\frac{12}{25m}$=1，
解得m=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀）（-1＜x₀＜1），則 x₀²+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{m}$=1，①
因?yàn)镸是線段AP的中點(diǎn)，所以 P（2x₀+1，2y₀）．
因?yàn)镺P⊥OM，所以$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OM}$，
所以$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，即 x₀（2x₀+1）+2y₀²=0．②
由①，②消去y₀，整理可得m=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}}{2{{x}_{0}}^{2}-2}$，
m=1+$\frac{1}{2（{x}_{0}+2）+\frac{6}{{x}_{0}+2}-8}$≤1+$\frac{1}{2\sqrt{12}-8}$=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$．
當(dāng)且僅當(dāng)x₀=-2+$\sqrt{3}$時(shí)，上式等號(hào)成立．
所以m的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}-$$\frac{\sqrt{3}}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬中檔題，垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0是常用手段，要靈活運(yùn)用．