Question

16．若存在實數(shù)x，使f（x）=x，則稱x為f（x）的不動點．已知f（x）=$\frac{2x+a}{x+b}$有兩個關(guān)于原點對稱的不動點．
（1）求a，b須滿足的充要條件；
（2）試用y=f（x）和y=x的圖形表示上述兩個不動點的位置（畫草圖）．

Answer 1

分析 （1）已知條件列出方程，由題意知方程（*）有兩個互為相反數(shù)的根，即可得出．
（2）利用函數(shù)的對稱中心畫出兩個函數(shù)的草圖，可得不動點的位置．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{2x+a}{x+b}$=x，
整理得 x²+（b-2）x-a=0（*），
由題意知方程（*）有兩個互為相反數(shù)的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}b-2=0\\-a＜0\end{array}\right.$，即b=2，a＞0，
∵f（x）=2+$\frac{a-4}{x+2}$，∴a≠4，
故a，b應(yīng)滿足b=2，a＞0且a≠4．
（2）y=f（x）=2+$\frac{a-4}{x+2}$和y=x的圖形為：

兩個不動點的位置為：A，A′．

點評 本題考查了新定義“不動點”的性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．