Question

18．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=$\frac{1}{2}$
（1）求|4z-$\frac{1}{z}$|的取值范圍
（2）若ω=3-zi．求復(fù)數(shù)ω對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)z=a+bi，則${a}^{2}+^{2}=\frac{1}{4}$，|4z-$\frac{1}{z}$|=|4a+4bi-$\frac{1}{a+bi}$|=|4bi|，由此能求出|4z-$\frac{1}{z}$|的取值范圍．
（2）由ω=3-zi，得|z|=|（ω-3）i|，從而（ω-3）²=（-zi）²=${a}^{2}+^{2}=\frac{1}{4}$，ω=$\frac{7}{2}$，由此能求出ω=3-zi對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程．

解答 解：（1）設(shè)z=a+bi，
∵復(fù)數(shù)z滿足|z|=$\frac{1}{2}$，∴${a}^{2}+^{2}=\frac{1}{4}$，
∴0$≤^{2}≤\frac{1}{4}$，0≤16b²≤4，
∴|4z-$\frac{1}{z}$|=|4a+4bi-$\frac{1}{a+bi}$|=|4bi|=$\sqrt{16^{2}}$∈[0，2]．
∴|4z-$\frac{1}{z}$|的取值范圍是[0，2]．
（2）∵ω=3-zi，∴z=$\frac{3-ω}{i}$=（ω-3）i，∴|z|=|（ω-3）i|，
∵（ω-3）²=（-zi）²=（-b+ai）=${a}^{2}+^{2}=\frac{1}{4}$，∴ω-3=$\frac{1}{2}$，ω=$\frac{7}{2}$，
∴ω=3-zi=3+b-ai，
∴|ω|=$\sqrt{{a}^{2}+（3+b）^{2}}$=$\frac{7}{2}$，
∴ω=3-zi對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程為a²+（b+3）²=$\frac{49}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的模的取值范圍的求法，考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)的合理運(yùn)用．