Question

15．如圖，正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割成4個小矩形，P是EF與GH的交點，若矩形PFCH的面積恰好是矩形AGPE面積的2倍，試確定∠HAF的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 作出輔助線BM、AM、FH，把求∠HAF的度數(shù)等價轉(zhuǎn)化為求其全等三角形的對應(yīng)角∠MAF的度數(shù)．

解答 解：如圖，連結(jié)FH，延長CB到M，使BM=DH，連結(jié)AM，
∵Rt△ABM≌Rt△ADH，∴AM=AH，∠MAB=∠HAD，
∴∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90°，
如圖，設(shè)正方形ABCD邊長為a，AG=m，GP=n，則FC=a-n，CH=a-m，
∵矩形PFCH的面積恰好是矩形AGPE面積的2倍，
∴a²-（m+n）a+mn=2mn，①
在Rt△FCH中，F(xiàn)H²=（a-n）²+（a-m）²，②
聯(lián)立①②，得FH²=MF²=（m+n）²，∴FH=MF．
∵AF=AF，AH=AM，∴△AMF≌△HAF，
∴∠HAF=∠MAF=45°．

點評 本題考查滿足條件的角的大小的確定并證明，是中檔題，解題時要注意全等三角形的判定定理的合理運用，構(gòu)建全等三角形并進行證明是解題的關(guān)鍵．