Question

13．實數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-2≥0}\\{x-3y+4≥0}\\{x-y-2≤0}\end{array}\right.$，則z=（x-1）²+（y-5）²的取值范圍為（　�。�

• A． [$\sqrt{10}$，20]
• B． [$\sqrt{10}$，26]
• C． [10，20]
• D． [10，26]

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到點D（1，5）的距離的平方，
則由圖象知CD的距離最大，點D到直線AB：x-3y+4=0的距離最小，
此時d=$\frac{|1-3×5+4|}{\sqrt{1+{3}^{2}}}=\frac{10}{\sqrt{10}}$=$\sqrt{10}$，
此時最小值z=d²=10，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-2=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，即C（2，0），
此時z=（2-1）²+（0-5）²=1+25=26，
故10≤z≤26，
故選：D．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用點到直線的距離公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．