Question

8．已知函數(shù)f（x）=x³+x+k在（b，f（b））處的切線方程為4x-y-1=0，其中b＞0．m（x）=f（x）-x³-1-alnx，g（x）=$-\frac{1+a}{x}$，（a∈R）
（1）求k，b的值；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=m（x）-g（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點(diǎn)x₀，使得m（x₀）＜g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由已知切線的方程，可得斜率和切點(diǎn)，解方程可得k，b的值；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，通過令h′（x）=0，解得x=-1或x=a+1，結(jié)合a≤-1或a＞-1，及x∈（0，+∞），即得結(jié)論；
（3）由條件可得h（x）=x+$\frac{1+a}{x}$-alnx在[1，e]上的最小值小于零，結(jié)合（2）可知函數(shù)的單調(diào)性，分①1+a≥e、②1＜1+a＜e、③1+a≤1，④a+1≤0，四種情況討論即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³+x+k的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+1，
由f（x）在（b，f（b））處的切線方程為4x-y-1=0，
可得切線的斜率為3b²+1=4，解得b=1；
切點(diǎn)為（1，2+k），又2+k=3，解得k=1；
（2）h（x）=m（x）-g（x）=x³+x+1-x³-1-alnx+$\frac{1+a}{x}$
=x-alnx+$\frac{1+a}{x}$，
h（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
則h′（x）=1-$\frac{1+a}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-ax-（1+a）}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）[x-（1+a）]}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，即（x+1）[x-（1+a）]=0，解得x=-1或x=a+1，
當(dāng)a＞-1，即a+1＞0，則x=a+1，
又∵x∈（0，+∞），∴當(dāng)0＜x＜1+a時(shí)，h′（x）＜0；
當(dāng)x＞1+a時(shí)，f′（x）＞0．
所以函數(shù)h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1+a），單調(diào)遞增區(qū)間為（1+a，+∞）；
當(dāng)a≤-1時(shí)，a+1≤0，h′（x）＞0恒成立，h（x）的增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；
（3）在[1，e]上存在一點(diǎn)x₀，使得m（x₀）＜g（x₀）成立，即為
函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，e]上存在一點(diǎn)x₀，使得h（x₀）＜0成立，
則函數(shù)h（x）=x+$\frac{1+a}{x}$-alnx在[1，e]上的最小值小于零．
①當(dāng)1+a≥e，即a≥e-1時(shí)，由（2）知，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
所以h（x）的最小值為h（e）=e+$\frac{1+a}{e}$-a，
令e+$\frac{1+a}{e}$-a＜0，解得a＞$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$，
∵$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$＞e-1，∴a＞$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$；
②當(dāng)1＜1+a＜e，即0＜a＜e-1時(shí)，由（1）知，
函數(shù)h（x）在（1，1+a）上單調(diào)遞減，在（1+a，e）上單調(diào)遞增，
所以h（x）的最小值為h（1+a）=2+a-aln（1+a），
∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，
故函數(shù)h（x）在[1，e]上的最小值h（1+a）=2+a-aln（1+a）＞2＞0，
故此時(shí)沒有滿足條件的實(shí)數(shù)a；
③當(dāng)1+a≤1，即-1＜a≤0時(shí)，由（1）知，
函數(shù)h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，所以h（x）的最小值為h（1）=2+a，
∵-1＜a≤0，∴h（x）在[1，e]上的最小值h（1）=2+a＞1＞0，
故此時(shí)沒有滿足條件的實(shí)數(shù)a；
④當(dāng)a≤-1時(shí)，由（2）可得h（x）在[1，e]遞增，
可得h（1）取得最小值，且為2+a，
由2+a＜0，可得a＜-2．
綜上可得，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$，+∞）∪（-∞，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和函數(shù)的單調(diào)性、最值，通過已知條件得出“函數(shù)h（x）=x+$\frac{1+a}{x}$-alnx在[1，e]上的最小值小于零”是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題．